2019年全国I卷理科数学高考真题_高考_高中教育_教育专区

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 M ? {x ?4 ? x ? 2}，N ? {x x2 ? x ? 6 ? 0?，则 M N = A．{x ?4 ? x ?3? B．{x ?4 ? x ??2? C．{x ?2 ? x ? 2? D．{x 2 ? x ?3? 2．设复数 z 满足 z ? i =1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． (x+1)2 ? y2 ? 1 B． (x ?1)2 ? y2 ? 1 C． x2 ? ( y ?1)2 ? 1 D． x2 ? ( y+1)2 ? 1 3．已知 a ? log20.2，b ? 20.2，c ? 0.20.3 ，则 A． a ? b ? c B． a ? c ? b C． c ? a ? b D． b ? c ? a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 ?1（ 5 ?1 ≈0.618， 2 2 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 5 ?1 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 2 度为 26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数 f(x)= sinx ? x cosx ? x2 在[??, ?] 的图像大致为 A． B． C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为 阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A． 5 16 B． 11 32 C． 21 32 D． 11 16 7．已知非零向量 a，b 满足| a |? 2 | b | ，且 (a ? b) ? b，则 a 与 b 的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 8．如图是求 2 ? 1 2 1 ? 1 的程序框图，图中空白框中应填入 2 D． 5π 6 A．A= 1 2? A B．A= 2 ? 1 A C．A= 1 1? 2A D．A=1? 1 2A 9．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4 ? 0，a5 ? 5 ，则 A． an ? 2n ? 5 B． an ? 3n ?10 C． Sn ? 2n2 ? 8n D． Sn ? 1 2 n2 ? 2n 10．已知椭圆 C 的焦点为 F1( ?1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 |? 2 | F2B | ， | AB |?| BF1 | ，则 C 的方程为 A． x2 ? y2 ? 1 2 B． x2 ? y2 ? 1 32 C． x2 ? y2 ? 1 43 D． x2 ? y2 ? 1 54 11．关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x |有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ③f(x)在[??, ?] 有 4 个零点 ②f(x)在区间（ ? ， ? ）单调递增 2 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． 8 6? B． 4 6? C． 2 6? D． 6? 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y ? 3(x2 ? x)e x 在点 (0，0) 处的切线方程为____________． 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1 ? 1 3 ，a42 ? a6 ，则 S5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16．已知双曲线 C： x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A，B 两点．若 F1A ? AB ， F1B ? F2B ? 0 ，则 C 的离心率为____________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B ? sin C)2 ? sin2 A ? sin B sin C ． （1）求 A； （2）若 2a ? b ? 2c ，求 sinC． 18．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A?MA1?N 的正弦值． 19．（12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． 2 （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 AP ? 3PB ，求|AB|． 20．（12 分） 已知函数 f (x) ? sin x ? ln(1? x) ， f ?(x) 为 f (x) 的导数．证明： （1） f ?(x) 在区间 (?1, ?) 存在唯一极大值点； 2 （2） f (x) 有且仅有 2 个零点． 21．（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 ?1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 ?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i ? 0,1, ,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认 为 甲 药 比乙 药 更有 效 ” 的概 率 ， 则 p0 ? 0 ， p8 ? 1 ， pi ? api?1 ? bpi ? cpi?1 (i ? 1, 2, , 7) ， 其 中 a ? P( X ? ?1)， b ? P(X ? 0) ， c ? P(X ? 1) ．假设? ? 0.5， ? ? 0.8 ． (i)证明：{ pi?1 ? pi} (i ? 0,1, 2, , 7) 为等比数列； (ii)求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ?? ? x ? 1 1 ? ? t2 t2 ， （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的 ? ?? y ? 1 4t ?t 2 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2? cos? ? 3? sin? ?11 ? 0 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 ； abc （2） (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 ． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学?参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题 14． 121 3 15．0.18 16．2 17．解：（1）由已知得 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? sin Bsin C ，故由正弦定理得 b2 ? c2 ? a2 ? bc ． 由余弦定理得 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 ． 2bc 2 因为 0? ? A ? 180? ，所以 A ? 60? ． ? ? （2）由（1）知 B ? 120? ? C ，由题设及正弦定理得 2 sin A ? sin 120? ? C ? 2sin C ， ? ? 即 6 ? 3 cos C ? 1 sin C ? 2sin C ，可得 cos C ? 60? ? ? 2 ． 22 2 2 ? ? 由于 0? ? C ?120? ，所以 sin C ? 60? ? 2 ，故 2 ? ? sin C ? sin C ? 60? ? 60? ? ? ? ? ? sin C ? 60? cos 60? ? cos C ? 60? sin 60? ? 6? 2 ． 4 18．解：（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME= 1 B1C． 2 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D． 由题设知A1B1 ? DC，可得B1C ? A1D，故ME ? ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN ? 平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA． 以D为坐标原点， DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则 A(2, 0, 0) ， A1(2 ， 0 ， 4) ， M (1, 3, 2) ， N (1, 0, 2) ， A1A ? (0,0, ?4) ， A1M ? (?1, 3, ?2) ， A1N ? (?1,0, ?2) ， MN ? (0, ? 3, 0) ． 设m ? (x, y, z ) 为平面A1MA的法向量，则 ??m ? ? A1M ? 0 ， ??m ? A1A ? 0 所以 ???x ? ? ???4z ? 3y ? 0． 2z ? 0，可取 m ? ( 3,1, 0) ． 设 n ? ( p, q, r) 为平面A1MN的法向量，则 ??n ? ??n ? ? MN A1N ? ? 0， 0． 所以 ??? ? ??? 3q ? p ? 2r 0， 可取 ? 0． n ? (2, 0, ?1) ． 于是 cos?m, n? ? m?n | m‖n | ? 2 2? 3 5 ? 15 ， 5 所以二面角 A ? MA1 ? N 的正弦值为 10 ． 5 19．解：设直线 l : y ? 3 2 x ? t, A? x1, y1 ?, B ? x2 , y2 ? ． （1）由题设得 F ? ?? 3 4 , 0 ? ?? ，故 | AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 3 2 ，由题设可得 x1 ? x2 ? 5 2 ． 由 ?? ? ?? y? 3x? 2 y2 ? 3x t ，可得 9x2 ?12(t ? 1) x ? 4t 2 ? 0 ，则 x1 ? x2 ? ?12(t ?1) 9 ． 从而 ?12(t ?1) ? 5 ，得 t ? ? 7 ． 92 8 所以 l 的方程为 y ? 3 x ? 7 ． 28 （2）由 AP ? 3PB 可得 y1 ? ?3y2 ． 由 ?? ? y ? 3 2 x ? t ，可得 y2 ? 2y ? 2t ? 0 ． ?? y2 ? 3x 所以 y1 ? y2 ? 2 ．从而 ?3y2 ? y2 ? 2 ，故 y2 ? ?1, y1 ? 3 ． 代入 C 的方程得 x1 ? 3, x2 ? 1 3 ． 故| AB |? 4 13 ． 3 20．解：（1）设 g(x) ? f '(x) ，则 g(x) ? cos x ? 1 1? x ， g'(x) ? ? sin x? 1 (1? x)2 . 当 x ? ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 时， g' ( x) 单调递减，而 g' (0) ? 0, g' ( ?) 2 ? 0 ，可得 g' ( x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 有唯一零点， 设为? . 则当 x ? (?1,? ) 时， g' ( x) ? 0 ；当 x ? ? ?? ? , ? 2 ? ?? 时， g' (x) ? 0 . 所以 g(x) 在 (?1,? ) 单调递增，在 ??? ? , ? 2 ? ?? 单调递减，故 g( x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 存在唯一极大值点， 即 f '(x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 存在唯一极大值点. （2） f (x) 的定义域为 (?1, ??) . （i）当 x ? (?1,0] 时，由（1）知， f '(x) 在 ( ?1,0) 单调递增，而 f '(0) ? 0 ，所以当 x ? (?1, 0) 时， f '(x) ? 0 ，故 f (x) 在 ( ?1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x ? 0 是 f (x) 在 (?1, 0] 的唯一 零点. （ii）当 x ? ? ?? 0, ?? 2 ?? 时，由（1）知，f '(x) 在 (0,? ) 单调递增，在 ? ?? ? , ? 2 ? ?? 单调递减，而 f '(0)=0 ， f ' ? ?? ? 2 ? ?? ? 0 ，所以存在 ? ? ???? , ? 2 ? ?? ，使得 f '(? ) ? 0 ，且当 x ?(0, ?) 时，f '(x) ? 0 ；当 x ? ? ?? ?, ? 2 ? ?? 时， f '(x) ? 0 .故 f (x) 在 (0, ? ) 单调递增，在 ? ?? ? , ? 2 ? ?? 单调递减. 又 f (0)=0 ， f ? ?? ? 2 ? ?? ?1? ln ???1 ? ? 2 ? ?? ? 0 ，所以当 x ? ? ?? 0, ?? 2 ?? 时， f (x) ? 0 .从而， f (x) 在 ? ?? 0, ? 2 ? ?? 没有零点. （iii）当 x ? ? ?? ? 2 , ???? 时， f '(x) ? 0 ，所以 f (x) 在 ? ?? ? 2 , ? ? ?? 单调递减.而 f ? ?? ? 2 ? ?? ? 0 ， f (?) ? 0 ， 所以 f ( x) 在 ? ?? ? 2 , ???? 有唯一零点. （iv）当 x ?(?, ??) 时， ln(x ?1) ?1 ，所以 f (x) <0，从而 f (x) 在 (?, ??) 没有零点. 综上， f (x) 有且仅有2个零点. 21．解：X 的所有可能取值为 ?1,0,1. P(X ? ?1) ? (1?? )?， P(X ? 0) ? ?? ? (1?? )(1? ? )， P(X ? 1) ? ? (1? ? )， 所以 X 的分布列为 （2）（i）由（1）得 a ? 0.4, b ? 0.5, c ? 0.1 . ? ? ? ? 因此 pi =0.4pi?1+0.5 pi +0.1pi?1，故 0.1 pi?1 ? pi ? 0.4 pi ? pi?1 ，即 ? ? pi?1 ? pi ? 4 pi ? pi?1 . 又因为 p1 ? p0 ? p1 ? ? 0 ，所以 pi?1 ? pi?(i ? 0,1, 2, ,7) 为公比为 4，首项为 p1 的等比数列． （ii）由（i）可得 p8 ? p8 ? p7 ? p7 ? p6 ? ? p1 ? p0 ? p0 ? ? p8 ? p7 ? ? ? p7 ? p6 ? ? ? ? p1 ? p0 ? ? 48 ?1 3 p1 . 由于 p8 =1 ，故 p1 ? 3 48 ?1 ，所以 p4 ? ? p4 ? p3 ? ? ? p3 ? p2 ? ? ? p2 ? p1 ? ? ? p1 ? p0 ? ? 44 ?1 3 p1 ? 1. 25 7 p4 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治 愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 ? 1 257 ? 0.0039 ，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理. ? ? 22 ． 解 ：（ 1 ） 因 为 ?1 ? 1 1 ? ? t t 2 2 ? 1 ，且 x2 ? ? ?? y 2 2 ? ? ? ? ?1?t2 ? ? 1 ? t 2 ?2 ? ? ? 4t 2 1? t2 2 ? 1 ，所以C的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 1(x ? ?1) . 4 l 的直角坐标方程为 2x ? 3y ?11 ? 0 . （2）由（1）可设C的参数方程为 ?x ? ? y ? cos?, ? 2sin? （? 为参数， ?π ? ? ? π ）. C上的点到 l 的距离为 | 2 cos? ? 2 3 sin ? ? 11 | ? 4 cos ???? ? π 3 ? ?? ?11 . 7 7 当? ? ? 2π 3 时， 4 cos ? ?? ? ? π 3 ? ?? ?11 取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7. 23．解：（1）因为 a2 ? b2 ? 2ab,b2 ? c2 ? 2bc, c2 ? a2 ? 2ac ，又 abc ? 1，故有 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? ab ? bc ? ca ? 1 ? 1 ? 1 . abc abc 所以 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 . abc （2）因为 a, b, c 为正数且 abc ? 1，故有 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 33 (a ? b)3(b ? c)3(a ? c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ? 3? (2 ab) ? (2 bc ) ? (2 ac ) =24. 所以 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 .