2019年全国I卷理科数学高考真题_高考_高中教育_教育专区
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。
1.已知集合 M ? {x ?4 ? x ? 2},N ? {x x2 ? x ? 6 ? 0?,则 M N =
A.{x ?4 ? x ?3? B.{x ?4 ? x ??2? C.{x ?2 ? x ? 2? D.{x 2 ? x ?3?
2.设复数 z 满足 z ? i =1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则
A. (x+1)2 ? y2 ? 1 B. (x ?1)2 ? y2 ? 1 C. x2 ? ( y ?1)2 ? 1 D. x2 ? ( y+1)2 ? 1
3.已知 a ? log20.2,b ? 20.2,c ? 0.20.3 ,则
A. a ? b ? c
B. a ? c ? b
C. c ? a ? b
D. b ? c ? a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 ?1( 5 ?1 ≈0.618,
2
2
称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的长度之比也是 5 ?1 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端的长 2
度为 26 cm,则其身高可能是
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm
5.函数
f(x)=
sinx ? x cosx ? x2
在[??, ?] 的图像大致为
A.
B.
C.
D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为 阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是
A. 5 16
B. 11 32
C. 21 32
D. 11 16
7.已知非零向量 a,b 满足| a |? 2 | b | ,且 (a ? b) ? b,则 a 与 b 的夹角为
A. π 6
B. π 3
C. 2π 3
8.如图是求
2
?
1 2
1 ?
1
的程序框图,图中空白框中应填入
2
D. 5π 6
A.A= 1 2? A
B.A= 2 ? 1 A
C.A= 1 1? 2A
D.A=1? 1 2A
9.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4 ? 0,a5 ? 5 ,则
A. an ? 2n ? 5
B. an ? 3n ?10
C. Sn ? 2n2 ? 8n
D.
Sn
?
1 2
n2
?
2n
10.已知椭圆 C 的焦点为 F1( ?1, 0),F2(1, 0),过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若| AF2 |? 2 | F2B | ,
| AB |?| BF1 | ,则 C 的方程为
A. x2 ? y2 ? 1 2
B. x2 ? y2 ? 1 32
C. x2 ? y2 ? 1 43
D. x2 ? y2 ? 1 54
11.关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x |有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
③f(x)在[??, ?] 有 4 个零点
②f(x)在区间( ? , ? )单调递增 2
④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
12.已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F
分别是 PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球 O 的体积为
A. 8 6?
B. 4 6?
C. 2 6?
D. 6?
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.曲线 y ? 3(x2 ? x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为____________.
14.记
Sn 为等比数列{an}的前
n
项和.若 a1
?
1 3
,a42
?
a6
,则
S5=____________.
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前
期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的
概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________.
16.已知双曲线
C:
x a
2 2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
?
0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过
F1 的直线与 C
的两条渐近线
分别交于 A,B 两点.若 F1A ? AB , F1B ? F2B ? 0 ,则 C 的离心率为____________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 (sin B ? sin C)2 ? sin2 A ? sin B sin C .
(1)求 A;
(2)若 2a ? b ? 2c ,求 sinC.
18.(12 分) 如图,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC, BB1,A1D 的中点.
(1)证明:MN∥平面 C1DE; (2)求二面角 A?MA1?N 的正弦值. 19.(12 分)
已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. 2
(1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程;
(2)若 AP ? 3PB ,求|AB|.
20.(12 分)
已知函数 f (x) ? sin x ? ln(1? x) , f ?(x) 为 f (x) 的导数.证明: (1) f ?(x) 在区间 (?1, ?) 存在唯一极大值点;
2 (2) f (x) 有且仅有 2 个零点.
21.(12 分) 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案 如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 ?1分;若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 ?1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、
乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β,一轮试验中甲药的得分记为 X.
(1)求 X 的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, pi (i ? 0,1, ,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时,最终认
为 甲 药 比乙 药 更有 效 ” 的概 率 , 则 p0 ? 0 , p8 ? 1 , pi ? api?1 ? bpi ? cpi?1 (i ? 1, 2, , 7) , 其 中 a ? P( X ? ?1), b ? P(X ? 0) , c ? P(X ? 1) .假设? ? 0.5, ? ? 0.8 .
(i)证明:{ pi?1 ? pi} (i ? 0,1, 2, , 7) 为等比数列;
(ii)求 p4 ,并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
? ?? ?
x
?
1 1
? ?
t2 t2
,
(t
为参数).以坐标原点
O
为极点,x
轴的
? ??
y
?
1
4t ?t
2
正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2? cos? ? 3? sin? ?11 ? 0 .
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明:
(1) 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 ; abc
(2) (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 .
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题
13.y=3x 三、解答题
14. 121 3
15.0.18
16.2
17.解:(1)由已知得 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? sin Bsin C ,故由正弦定理得 b2 ? c2 ? a2 ? bc .
由余弦定理得 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 .
2bc
2
因为 0? ? A ? 180? ,所以 A ? 60? .
? ? (2)由(1)知 B ? 120? ? C ,由题设及正弦定理得 2 sin A ? sin 120? ? C ? 2sin C ,
? ? 即 6 ? 3 cos C ? 1 sin C ? 2sin C ,可得 cos C ? 60? ? ? 2 .
22
2
2
? ? 由于 0? ? C ?120? ,所以 sin C ? 60? ? 2 ,故 2
? ? sin C ? sin C ? 60? ? 60? ? ? ? ? ? sin C ? 60? cos 60? ? cos C ? 60? sin 60?
? 6? 2 . 4
18.解:(1)连结B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点,
所以ME∥B1C,且ME= 1 B1C. 2
又因为N为A1D的中点,所以ND=
1 2
A1D.
由题设知A1B1 ? DC,可得B1C ? A1D,故ME ? ND,
因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.
又MN ? 平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.
以D为坐标原点, DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz,则
A(2, 0, 0) , A1(2 , 0 , 4) , M (1, 3, 2) , N (1, 0, 2) , A1A ? (0,0, ?4) , A1M ? (?1, 3, ?2) ,
A1N ? (?1,0, ?2) , MN ? (0, ? 3, 0) .
设m
?
(x,
y,
z
)
为平面A1MA的法向量,则
??m ?
?
A1M
?
0
,
??m ? A1A ? 0
所以
???x ? ? ???4z ?
3y ? 0.
2z
?
0,可取
m
?
(
3,1, 0) .
设
n
?
(
p,
q,
r)
为平面A1MN的法向量,则
??n ? ??n
? ?
MN A1N
? ?
0, 0.
所以
??? ? ???
3q ? p ? 2r
0,
可取
? 0.
n
?
(2,
0,
?1)
.
于是 cos?m, n?
?
m?n | m‖n |
?
2 2?
3 5
?
15 , 5
所以二面角 A ? MA1 ? N 的正弦值为 10 . 5
19.解:设直线 l
:
y
?
3 2
x
?
t,
A?
x1,
y1 ?,
B
?
x2 ,
y2
?
.
(1)由题设得
F
? ??
3 4
,
0
? ??
,故 |
AF
|
?
|
BF
|?
x1
?
x2
?
3 2
,由题设可得
x1
?
x2
?
5 2
.
由
?? ? ??
y? 3x? 2
y2 ? 3x
t
,可得 9x2
?12(t
? 1) x
?
4t 2
?
0
,则
x1
?
x2
?
?12(t ?1) 9
.
从而 ?12(t ?1) ? 5 ,得 t ? ? 7 .
92
8
所以 l 的方程为 y ? 3 x ? 7 . 28
(2)由 AP ? 3PB 可得 y1 ? ?3y2 .
由
?? ?
y
?
3 2
x
?
t
,可得
y2
?
2y
?
2t
?
0
.
?? y2 ? 3x
所以 y1 ? y2 ? 2 .从而 ?3y2 ? y2 ? 2 ,故 y2 ? ?1, y1 ? 3 .
代入 C
的方程得
x1
?
3,
x2
?
1 3
.
故| AB |? 4 13 . 3
20.解:(1)设
g(x)
?
f
'(x)
,则 g(x)
?
cos x ? 1 1? x
, g'(x)
?
? sin
x?
1 (1? x)2
.
当
x
?
? ??
?1,
? 2
? ??
时,
g'
(
x)
单调递减,而
g' (0)
?
0,
g'
(
?) 2
?
0
,可得
g'
(
x)
在
? ??
?1,
? 2
? ??
有唯一零点,
设为? .
则当
x
?
(?1,?
)
时,
g' (
x)
?
0
;当
x
?
? ??
?
,
? 2
? ??
时,
g'
(x)
?
0
.
所以
g(x)
在
(?1,?
)
单调递增,在
??? ?
,
? 2
? ??
单调递减,故
g(
x)
在
? ??
?1,
? 2
? ??
存在唯一极大值点,
即
f
'(x)
在
? ??
?1,
? 2
? ??
存在唯一极大值点.
(2) f (x) 的定义域为 (?1, ??) .
(i)当 x ? (?1,0] 时,由(1)知, f '(x) 在 ( ?1,0) 单调递增,而 f '(0) ? 0 ,所以当 x ? (?1, 0)
时, f '(x) ? 0 ,故 f (x) 在 ( ?1,0) 单调递减,又 f (0)=0 ,从而 x ? 0 是 f (x) 在 (?1, 0] 的唯一
零点.
(ii)当
x
?
? ??
0,
?? 2 ??
时,由(1)知,f
'(x)
在
(0,? )
单调递增,在
? ??
?
,
? 2
? ??
单调递减,而
f
'(0)=0 ,
f
'
? ??
? 2
? ??
?
0
,所以存在
?
? ???? ,
? 2
? ??
,使得
f
'(? )
?
0
,且当
x ?(0,
?)
时,f
'(x)
?
0 ;当
x
?
? ??
?,
? 2
? ??
时,
f
'(x)
?
0
.故
f
(x)
在
(0,
?
)
单调递增,在
? ??
?
,
? 2
? ??
单调递减.
又
f
(0)=0
,
f
? ??
? 2
? ??
?1?
ln
???1 ?
? 2
? ??
?
0
,所以当
x
?
? ??
0,
?? 2 ??
时,
f
(x)
?
0
.从而,
f
(x)
在
? ??
0,
? 2
? ??
没有零点.
(iii)当
x
?
? ??
? 2
, ????
时,
f
'(x)
?
0 ,所以
f
(x)
在
? ??
? 2
,
?
? ??
单调递减.而
f
? ??
? 2
? ??
?
0
,
f
(?)
?
0
,
所以
f
(
x)
在
? ??
? 2
,
????
有唯一零点.
(iv)当 x ?(?, ??) 时, ln(x ?1) ?1 ,所以 f (x) <0,从而 f (x) 在 (?, ??) 没有零点.
综上, f (x) 有且仅有2个零点.
21.解:X 的所有可能取值为 ?1,0,1.
P(X ? ?1) ? (1?? )?, P(X ? 0) ? ?? ? (1?? )(1? ? ), P(X ? 1) ? ? (1? ? ),
所以 X 的分布列为
(2)(i)由(1)得 a ? 0.4, b ? 0.5, c ? 0.1 .
? ? ? ? 因此 pi =0.4pi?1+0.5 pi +0.1pi?1,故 0.1 pi?1 ? pi ? 0.4 pi ? pi?1 ,即
? ? pi?1 ? pi ? 4 pi ? pi?1 .
又因为 p1 ? p0 ? p1 ? ? 0 ,所以 pi?1 ? pi?(i ? 0,1, 2, ,7) 为公比为 4,首项为 p1 的等比数列.
(ii)由(i)可得
p8 ? p8 ? p7 ? p7 ? p6 ?
? p1 ? p0 ? p0 ? ? p8 ? p7 ? ? ? p7 ? p6 ? ?
?
?
p1
?
p0
?
?
48 ?1 3
p1
.
由于
p8
=1 ,故
p1
?
3 48 ?1
,所以
p4
?
?
p4
?
p3
?
?
?
p3
?
p2
?
?
?
p2
?
p1
?
?
?
p1
?
p0
?
?
44 ?1 3
p1
? 1. 25 7
p4 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5,乙药治
愈率为
0.8
时,认为甲药更有效的概率为
p4
?
1 257
? 0.0039 ,此时得出错误结论的概率非
常小,说明这种试验方案合理.
? ? 22
.
解
:(
1
)
因
为
?1
?
1 1
? ?
t t
2 2
?
1
,且
x2
?
? ??
y 2
2
? ? ?
?
?1?t2
? ?
1
?
t
2
?2 ? ?
?
4t 2 1? t2
2
? 1 ,所以C的直角坐标方程为
x2 ? y2 ? 1(x ? ?1) . 4
l 的直角坐标方程为 2x ? 3y ?11 ? 0 .
(2)由(1)可设C的参数方程为
?x
? ?
y
? cos?, ? 2sin?
(?
为参数, ?π
?
?
?
π
).
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos? ? 2
3
sin ?
? 11 |
?
4 cos
????
?
π 3
? ??
?11
.
7
7
当?
?
?
2π 3
时,
4
cos
? ??
?
?
π 3
? ??
?11 取得最小值7,故C上的点到 l
距离的最小值为
7.
23.解:(1)因为 a2 ? b2 ? 2ab,b2 ? c2 ? 2bc, c2 ? a2 ? 2ac ,又 abc ? 1,故有
a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? ab ? bc ? ca ? 1 ? 1 ? 1 .
abc
abc
所以 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 . abc
(2)因为 a, b, c 为正数且 abc ? 1,故有
(a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 33 (a ? b)3(b ? c)3(a ? c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)
? 3? (2 ab) ? (2 bc ) ? (2 ac )
=24.
所以 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 .